【題目】如圖，在三棱錐
中，
，二面角
的大小為120°，點
在棱
上，且
，點
為
的重心.
（1）證明：
平面
；
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）連接
，并延長與
相交于點
，連接
，可證得
，從而得證；
（2）過點在
中作
，與
相交于點
，可得
，以點為坐標原點，
所在直線為
軸，
所在直線為
軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求平面
的法向量
和平面
的一個法向量為
，再求得
，進而利用同角三角函數關系即可得解.
（1）證明：連接，并延長與相交于點，連接，
因為點
為的重心，所以
，
在
中，有
，
所以，
則
平面
，
平面，
所以
平面；
（2）解：過點在中作，與相交于點，因為
，
，則
為二面角
的平面角，則。
以點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系
，
因為
，
，，則
，
，
，
，
所以
記平面的法向量，
則
令
，得到平面的一個法向量
，
設平面的一個法向量為，
則
，
令
，得到平面的一個法向量
，
，
設二面角
的平面角為
，則
，
即二面角的正弦值為.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的焦點分別為
，
，橢圓的離心率為
，且經過點
，經過，作平行直線
，
，交橢圓于兩點
，
和兩點
，
.
（1）求的方程；
（2）求四邊形
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（2017高考新課標Ⅲ，理19）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】命題p：
x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，命題q：指數函數f（x）＝ax（a＞0且a≠1）為減函數，則P是q的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某群體的人均通勤時間，是指單日內該群體中成員從居住地到工作地的平均用時．某地上班族
中的成員僅以自駕或公交方式通勤．分析顯示：當中
（
）的成員自駕時，自駕群體的人均通勤時間為
（單位：分鐘），而公交群體的人均通勤時間不受
影響，恒為
分鐘，試根據上述分析結果回答下列問題：
（1）當在什么范圍內時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？
（2）求該地上班族的人均通勤時間
的表達式；討論的單調性，并說明其實際意義．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線y＝4x＋2．
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若x≥－2時，恒有f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
=
.
（1）若不等式
的解集為
，求不等式
的解集；
（2）若對于任意的
，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；
（3）已知
，若方程
在
有解，求實數的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠生產某種型號的電視機零配件，為了預測今年
月份該型號電視機零配件的市場需求量，以合理安排生產，工廠對本年度
月份至
月份該型號電視機零配件的銷售量及銷售單價進行了調查，銷售單價
（單位：元）和銷售量
（單位：千件）之間的組數據如下表所示：
月份 |
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|
銷售單價 |
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|
銷售量 |
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|
（1）根據1至月份的數據，求關于的線性回歸方程（系數精確到
）；
（2）結合（1）中的線性回歸方程，假設該型號電視機零配件的生產成本為每件
元，那么工廠如何制定月份的銷售單價，才能使該月利潤達到最大（計算結果精確到
）？
參考公式：回歸直線方程
，其中
.
參考數據：
.
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