Question

(本小題滿分16分)

 已知函數,其中.

（1）當時,求函數在處的切線方程;

（2）若函數在區間(1,2)上不是單調函數,試求的取值范圍;

（3）已知,如果存在,使得函數在處取得最小值,試求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：(1)當時,,則,故………2分

又切點為,故所求切線方程為,即……………………4分

(2)由題意知,在區間(1,2)上有不重復的零點,

由,得,因為,所以……7分

令,則,故在區間(1,2)上是增函數,

所以其值域為,從而的取值范圍是……………………………9分

   (3),

   由題意知對恒成立,即對恒成立,即  ①對恒成立 ……………………………11分

   當時,①式顯然成立;

   當時,①式可化為    ②,

   令,則其圖象是開口向下的拋物線,所以 ……………13分

   即,其等價于   ③ ,

   因為③在時有解,所以,解得,

從而的最大值為……………………………16分

考點：導數的幾何意義及函數零點，不等式與函數的轉化

點評：不等式恒成立問題常轉化為函數最值問題，不等式問題常轉化為函數問題求解