Question

給出下列命題：
①函數y=

3-2x

x+1

的對稱中心為（-1，-2）；
②函數y=2^1-x在定義域內遞增；  
③函數y=log3(x+

1

x

-3)的值域為R；      
④函數f（x）滿足f（x）f（x+2）=1，則f（2013）=f（1）；
⑤若x²-2mx+m²-1=0兩根都大于-2，則m＞-1．
則上述命題正確的是

①③④⑤

．

Answer 1

分析：根據反比例函數的對稱性及函數圖象平移變換法則，可判斷①的真假；
根據復合函數的單調性判定法則及指數函數和一次函數的單調性，可判斷②的真假；
判斷真數部分的取值范圍是否包含區間（0，+∞），可判斷③的真假；
由已知分析出函數的周期性，可判斷④的真假；
解方程求出方程的兩個根，結合x²-2mx+m²-1=0兩根都大于-2，求出m的范圍，可判斷⑤的真假

解答：解：函數y=

3-2x

x+1

=

5

x+1

-2，其圖象是由函數y=

5

x

的圖象向左移動一個單位，再向下移動兩個單位得到，故對稱中心為（-1，-2），即①正確；
函數y=2^u在定義域內遞增，但u=1-x在定義域內遞減，根據復合函數同增異減的原則，可得函數y=2^1-x在定義域內遞減，故②錯誤；
∵x+

1

x

-3∈（-∞，-5]∪[-1，+∞）?（0，+∞），故函數y=log3(x+

1

x

-3)的值域為R，即③正確；
函數f（x）滿足f（x）f（x+2）=1，則函數的周期T=4，則f（2013）=f（1），故④正確；
若x²-2mx+m²-1=0兩根都為m+1，m-1，若它們均大于-2，僅須m-1＞-2，則m＞-1，故⑤正確；
故答案為：①③④⑤

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數的對稱性，平移變換法則，復合函數的單調性，對數的值域，函數的周期性及方程的根，是函數的綜合應用．