Question

       (本題滿分14分)設a為實數，函數,x

(1) 當a= 0時，求的極大值、極小值；

(2) 若x>0時，，求a的取值范圍；.

(3) 若函數在區間（0,1)上是減函數，求a的取值范圍.

Answer 1

解 （1）當a = 0時，f（x）= x³－3x²－9x，f '（x）= 3x²－6x－9 = 3（x + 1）（x－3），列表如下：

x	…	（－∞，－1）	－1	（－1，3）	3	（3，+∞）	…
f '(x)	…	+	0	－	0	+	…
f (x)	…	↗	極大值	↘	極小值	↗	…

所以f（x）的極大值為f（－1）= 5，極小值為f（3）=－27．  ……………… 4分

（2）f（x）= x³－3（1－a）x² +（a² + 8a－9）x = x ， 令 g（x）= x²－3（1－a）x + a² + 8a－9，則問題等價于當x＞0時，g（x）= x²－3（1－a）x + a² + 8a－9≥0，求a的取值范圍．

ⅰ）若二次函數g（x）的對稱軸＜0，即a＞1時，根據圖象，只需g（0）≥0，即a² + 8a－9≥0，解得a≤－9或a≥1．結合a＞1，得a＞1．

ⅱ）若二次函數g（x）的對稱軸≥0，即a≤1時，根據圖象，只需△= 9（1－a）²－4（a² + 8a－9）≤0，解得1≤a≤9．結合a≤1，得a = 1．

故當x＞0時，f（x）≥0，實數a的取值范圍是a≥1．       ……………… 9分

（3）要使函數f（x）在（0，1）上是減函數，只需f '（x）在（0，1）上恒小于0，因為 f '（x）= 3x²－6（1－a）x + a² + 8a－9，其二次項系數為3，從而只需f（0）≤0，且 f（1）≤0，

即   解得

易知＜1， 所以 －9≤a≤．

綜上所述，若函數f（x）在（0，1）上是減函數，則a的取值范圍是－9≤a≤．

……………… 14分