Question

（2012•泉州模擬）選修4-4：坐標系與參數方程
已知在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為

x=2+2cosθ y=2sinθ

（θ為參數），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，直線l的方程為ρsin(θ+

π

4

)=0．
（Ⅰ）求曲線C在極坐標系中的方程；
（Ⅱ）求直線l被曲線C截得的弦長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）曲線C可化為（x-2）²+y²=4，即x²-4x+y²=0，再根據極坐標和直角坐標方程的互化公式求得曲線C在極坐標系中的方程．
（Ⅱ）把直線l的極坐標方程化為直角坐標方程，再把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離，再根據圓的半徑，求出弦長．

解答：解：（Ⅰ）曲線C可化為（x-2）²+y²=4，即x²-4x+y²=0，…（1分）
所以曲線C在極坐標系中的方程為ρ²-4ρcosθ=0，…（2分）
由于ρ=4cosθ包含ρ=0的情況，
∴曲線C在極坐標系中的方程為ρ=4cosθ．…（3分）
（Ⅱ）∵直線l的方程可化為x+y=0，…（4分）∴圓C的圓心C（2，0）到直線l的距離為d=

2

，…（5分）
又∵圓C的半徑為r=2，
∴直線l被曲線C截得的弦長l=2

r2-d2

=2

2

．…（7分）

點評：本題主要考查曲線的參數方程與極坐標方程、直線的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力以及化歸與轉化思想、分類與整合思想，屬于基礎題．