Question

（本小題滿分12分）已知橢圓E的長軸的一個端點是拋物線的焦點，離心率是

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點C（—1，0），斜率為k的動直線與橢圓E相交于A、B兩點，請問x軸上是否存在點M，使為常數？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1） ；（2）存在點滿足題意.

【解析】(1)橢圓E長軸的一個端點為,所以可得,焦點在x軸上，然后再根據,可得,所以,

所以橢圓方程為.

(2)先假設存在點M符合題意，設AB：再與橢圓Ｅ的方程聯立消y可得關于x的一元二次方程，再利用韋達定理代入，得到含有變量m,k的表達式，要注意與k無關，讓k的系數為零，求出m值．

（1）根據條件可知橢圓的焦點在x軸，且

故所求方程為即   ………………3分

（2）假設存在點M符合題意，設AB：代入得：

   ………………4分

則………………6分

………10分

要使上式與K無關，則有，解得，存在點滿足題意.…12分