Question

某公司生產(chǎn)2010年上海世博會(huì)的科技紀(jì)念品，已知生產(chǎn)x（x∈N^*）萬(wàn)件紀(jì)念品的收入函數(shù)為R(x)=

8 x   (0＜ x＜9) -x2+16x-39  (9 ≤ x≤ 15).

（單位：萬(wàn)元），其成本由固定成本和可變成本兩部分構(gòu)成，其中固定成本為5萬(wàn)元，可變成本與生產(chǎn)的紀(jì)念品的件數(shù)x成正比，又知該公司生產(chǎn)10萬(wàn)件產(chǎn)品時(shí)，花費(fèi)的可變成本為20萬(wàn)元．（利潤(rùn)=收入-成本）
（1）求利潤(rùn)函數(shù)P（x）；
（2）當(dāng)生產(chǎn)多少萬(wàn)件紀(jì)念品時(shí)，該公司能夠取得最大利潤(rùn)？并求出最大利潤(rùn)．

Answer 1

分析：（1）先求出公司的成本函數(shù)C（x），然后潤(rùn)函數(shù)P（x）=R（x）-C（x）分段進(jìn)行求解即可；
（2）分段分別求出函數(shù)的最大值，由利潤(rùn)函數(shù)是二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量x的值．

解答：解：（1）設(shè)該公司生產(chǎn)紀(jì)念品的可變成本為S（x）由題意可設(shè) S（x）=kx（k＞0）
又知該公司生產(chǎn)10萬(wàn)件產(chǎn)品時(shí)，花費(fèi)的可變成本為20萬(wàn)元
所以  20=10k得 k=2
由其固定成本為5萬(wàn)元，得
該公司的成本函數(shù)C（x）=2x+5…（3分）
因?yàn)槭杖牒瘮?shù)為R(x)=

8 x   (0＜ x＜9) -x2+16x-39  (9 ≤ x≤ 15).

所以，當(dāng)0＜x＜9時(shí)，利潤(rùn)函數(shù)P（x）=R（x）-C（x）=8

x

-(2x+5)=-2x+8

x

-5
當(dāng)9≤x≤15時(shí)，利潤(rùn)函數(shù)P（x）=R（x）-C（x）=（-x²+16x-39）-（2x+5）=-x²+14x-44
所以該公司生產(chǎn)紀(jì)念品的利潤(rùn)函數(shù)為P(x)=

-2x+8 x -5  (0＜ x＜9，x∈N*) -x2+14x-44  (9 ≤ x≤ 15，x∈N*).

…（8分）
（2）當(dāng)0＜x＜9時(shí)，P(x)=-2x+8

x

-5=-2(

x

-2)2+3
因?yàn)?＜x＜9，x∈N^*
所以，當(dāng)

x

=2即x=4時(shí)，P（x）的最大值為3萬(wàn)元；…（11分）
當(dāng)9≤x≤15時(shí)，P（x）=-x²+14x-44=-（x-7）²+5在區(qū)間[9，15]為減函數(shù)，
當(dāng)x=9時(shí)，P（x）=1…（14分）
所以，當(dāng)9≤x≤15時(shí)，P（x）最大值為1萬(wàn)元．
答：當(dāng)x=4萬(wàn)件時(shí)，利潤(rùn)的最大值為3萬(wàn)元．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題在正確理解利潤(rùn)函數(shù)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是分段函數(shù)需分段求，屬于基礎(chǔ)題．