Question

（本小題滿分12分）

如圖，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁面ABC，BCAC，BC=AC=2，D為AC的中點。

   （1）求證：AB₁//面BDC₁；

   （2）若AA₁=3，求二面角C₁—BD—C的余弦值；

   （3）若在線段AB₁上存在點P，使得CP面BDC₁，試求AA₁的長及點P的位置。

    

 

Answer 1

【答案】

（1）AB₁//面BDC₁

（2）二面角C₁—BD—C的余弦值：

（3）AA₁=2，點P位置是在線段AB₁上且

【解析】

（2）平面ABC，BCAC，AA₁//CC­₁，面ABC，

    則BC平面AC₁，CC₁AC

    如圖建系，則

    設平面C₁DB的法向量為     則

    又平面BDC的法向量為

    二面角C₁—BD—C的余弦值：  8分

   （3）設，

   

又面BDC₁，

    解得

    所以AA₁=2，點P位置是在線段AB₁上且 12分