Question

已知f(x)=

2

3

x3-2x2+cx+4，g（x）=e^x-e^2-x+f（x），
（1）若f（x）在x=1+

2

處取得極值，試求c的值和f（x）的單調增區間；
（2）如圖所示，若函數y=f（x）的圖象在[a，b]連續光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在c∈（a，b），使得f′(c)=

f(b)-f(a)

b-a

，利用這條性質證明：函數y=g（x）圖象上任意兩點的連線斜率不小于2e-4．

Answer 1

分析：（1）先求f′（x）由f′(1+

2

)=0，求得c，再用f′（x）＞0求得增區間．
（2）先化簡g（x）=e^x-e^2-x+f（x）═ex-e2-x+

2

3

x3-2x2-2x+4，則g′（x）=ex+

e2

ex

+2(x-1)2-4≥2

ex• e2 ex

+2•0-4=2e-4.由猜想知對于函數y=g（x）圖象上任意兩點A、B，在A、B之間一定存在一點C（c，g′（c）），有g′（x）≥2e-4．

解答：解：（1）f′（x）=2x²-4x+c，（1分）
依題意，有f′(1+

2

)=0，即c=-2(1+

2

)2+4(1+

2

)=-2．（2分）
∴f(x)=

2

3

x3-2x2-2x+4，f′（x）=2x²-4x-2．
令f′（x）＞0，得x＜1-

2

或x＞1+

2

，（5分）
從而f（x）的單調增區間為：(-∞，1-

2

]及[1+

2

，+∞)；（6分）
（2）f′(c)=

f(b)-f(a)

b-a

；g（x）=e^x-e^2-x+f（x）═ex-e2-x+

2

3

x3-2x2-2x+4，（7分）
g′（x）=e^x+e^2-x+2x²-4x-2（9分）=ex+

e2

ex

+2(x-1)2-4≥2

ex• e2 ex

+2•0-4=2e-4.（12分）
由（2）知，對于函數y=g（x）圖象上任意兩點A、B，在A、B之間一定存在一點C（c，g′（c）），使得g′（c）=K_AB，又g′（x）≥2e-4，故有K_AB=g′（c）≥2e-4，證畢．（14分）

點評：本題主要考查導數問題一是用導數研究函數的單調性二是考查導數的幾何意義．