Question

已知函數f（x）的定義域是x≠0的一切實數，對定義域內的任意x₁、x₂，都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當x＞1時f（x）＞0，f（2）=1，
（1）求證：f（x）是偶函數；
（2）證明f（x）在（0，+∞）上是增函數；

Answer 1

分析：（1）先令x₁=x₂=1，得到f（1）=0，再令x₁=x₂=-1，得f（-1）=0．然后用主條件證明f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x）得證．（2）先任取兩個變量，界定大小，再作差變形看符號．

解答：解：（1）證明：令x₁=x₂=1，得f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
令x₁=x₂=-1，得f（-1）=0．
∴f（-x）=f（-1•x）=f（-1）+f（x）=f（x）．
∴f（x）是偶函數．

（2）證明：設x₂＞x₁＞0，則
f（x₂）-f（x₁）=f（x₁•

x2

x1

）-f（x₁）
=f（x₁）+f（

x2

x1

）-f（x₁）=f（

x2

x1

）．
∵x₂＞x₁＞0，∴

x2

x1

＞1．
∴f（

x2

x1

）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0．
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數．

點評：本題主要考查單調性和奇偶性的判斷與證明．嚴格落實定義．