Question

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線（）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段 
的垂直平分線過定點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，要找兩個(gè)等式以確定，本題中有焦點(diǎn)為，說明，又有離心率，即，由此再加上可得結(jié)論；（2）直線與圓錐曲線相交問題，又涉及到交點(diǎn)弦，因此我們都是把直線方程（或設(shè)出）與橢圓方程聯(lián)立方程組，然后消去（有時(shí)也可消去）得關(guān)于（或）的一元二次方程，再設(shè)交點(diǎn)為坐標(biāo)為，則可得，，（用表示），于是中點(diǎn)坐標(biāo)可得，其中，，而，從而建立了的一個(gè)等量關(guān)系，在剛才的一元二次方程中，還有判別式，合起來可得出關(guān)于的不等式，從而求出其范圍.
試題解析：（1）由已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，，
，，        2分
橢圓的方程為        4分
（2），消去得        6分
直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，，可得（*）        8分
設(shè)，
，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)
中點(diǎn)的縱坐標(biāo)        10分
的中點(diǎn)
設(shè)中垂線的方程為：
在上，點(diǎn)坐標(biāo)代入的方程可得（**）        12分
將（*）代入解得或，
        14分
考點(diǎn)：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與圓錐曲線相交問題.