Question

如圖，已知菱形ABCD的邊長為6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．將菱形ABCD沿對角線AC折起，使BD=3

2

，得到三棱錐B-ACD．
（Ⅰ）若點M是棱BC的中點，求證：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-O的余弦值；
（Ⅲ）設點N是線段BD上一個動點，試確定N點的位置，使得CN=4

2

，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意及圖形可以得出OM是中位線，則OM∥AB，再由線面平行的判定定理得出OM∥平面ABD；、
（Ⅱ）建立空間直角坐標系O-xyz，如圖所示，得出圖形中各點的坐標，求出兩個平面平面ABD的法向量及平面BOD的法向量，再由公式求出兩個平面的夾角；
（Ⅲ）設出點N的坐標，得出線段CN對應的向量的坐標，求出它的模，利用其長度等于4

2

建立方程求出點N的坐標

解答：解：（Ⅰ）證明：因為點O是菱形ABCD的對角線的交點，
所以O是AC的中點．又點M是棱BC的中點，
所以OM是△ABC的中位線，OM∥AB．…（1分）
因為OM?平面ABD，AB?平面ABD，
所以OM∥平面ABD．…（3分）
（Ⅱ）由題意，OB=OD=3，
因為BD=3

2

，
所以∠BOD=90°，OB⊥OD．…（4分）
又因為菱形ABCD，所以OB⊥AC，OD⊥AC．
.A(3

3

，0，0)， D(0，3，0)，B（0，0，3）．
所以

AB

=(-3

3

，0，3)， 

AD

=(-3

3

，3，0)，…（6分）
設平面ABD的法向量為n=（x，y，z），
則有

AB •n=0 AD •n=0

即：

-3 3 x+3z=0 -3 3 x+3y=0

令x=1，則y=

3

，z=

3

，所以n=(1，

3

，

3

)．…（7分）
因為AC⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD．
平面BOD的法向量與AC平行，
所以平面BOD的法向量為n₀=（1，0，0）．…（8分）
∴cos?n0，n＞ = 

n0•n

|n0||n|

=

1

1× 7

=

7

7

，
因為二面角A-BD-O是銳角，
所以二面角A-BD-O的余弦值為

7

7

．…（9分）
（Ⅲ）因為N是線段BD上一個動點，設N（x₁，y₁，z₁），

BN

=λ

BD

，
則（x₁，y₁，z₁-3）=λ（0，3，-3），
所以x₁=0，y₁=3λ，z₁=3-3λ，…（10分）
則N（0，3λ，3-3λ），

CN

=(3

3

，3λ，3-3λ)，
由CN=4

2

得

27+9λ2+(3-3λ)2

=4

2

，即9λ²-9λ+2=0，…（11分）
解得λ=

1

3

或λ=

2

3

，…（12分）
所以N點的坐標為（0，2，1）或（0，1，2）．…（13分）
（也可以答是線段BD的三等分點，

BN

=2

ND

或2

BN

=

ND

）

點評：本題考查用空間向量求平面間的夾角，解題的關鍵是熟練掌握向量法求二面角的公式，利用空間向量求二面角是向量引入高中的主要目的，大大降低了立體幾何中求二面角、線面角的解題難度，要注意總結向量在幾何中的運用規律，達到能熟練地運用向量工具解決幾何題的程度