Question

（本小題滿分14分）已知定義在上的函數滿足，且對任意有．

（Ⅰ）判斷在上的奇偶性，并加以證明．

（Ⅱ）令，，求數列的通項公式．

（Ⅲ）設為的前項和，若對恒成立，求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）奇函數。見解析；（Ⅱ）； （Ⅲ）的最大值為．

【解析】(1)先根據x,y取值的任意性，可令得， 然后再令x=0,可得

f(-y)=-f(y),從而可判定f(x)為奇函數.

（II）滿足，則必有

，否則若則必有，依此類推必有，矛盾.據此可否定據此，

從而得到,

然后再根據，可確定是等比數列， 問題到此基本得以解決.

(III)在（2）的基礎上，可知， 從而可采用錯位相減的方法求和.

（Ⅰ）．對任意有…………①

令得；………………………………………………１分

令由①得，

用替換上式中的有………………………………………２分

在上為奇函數．………………………………………………３分

（Ⅱ）．滿足，則必有

否則若則必有，依此類推必有，矛盾

………………………………………………５分

，又

 是為首項，為公比的等比數列，…………………………………７分

　　　　　　　　　………………………………………………８分

 （Ⅲ）．………………………………………………９分

故……………………………………②

………………………③

②③得

………………………………………………１１分

………………………………………………１２分

若對恒成立須，解得……………………１３分

的最大值為．　　　　　　　………………………………………………１４分