Question

【題目】如圖，已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓的一個焦點為（ ，0），（1， ）是橢圓上的一個點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設橢圓的上、下頂點分別為A，B，P（x0 ， y0）（x0≠0）是橢圓上異于A，B的任意一點，PQ⊥y軸，Q為垂足，M為線段PQ中點，直線AM交直線l：y=﹣1于點C，N為線段BC的中點，如果△MON的面積為 ，求y0的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓方程為 ，由題意，得 ．

因為a2﹣c2=b2，所以b2=a2﹣3．

又 是橢圓上的一個點，所以 ，解得a2=4或 （舍去），

從而橢圓的標準方程為

（2）解：因為P（x0，y0），x0≠0，則Q（0，y0），且 ．

因為M為線段PQ中點，所以 ．

又A（0，1），所以直線AM的方程為 ．

因為x0≠0，∴y0≠1，令y=﹣1，得 ．

又B（0，﹣1），N為線段BC的中點，有 ．

所以 ．

因此，

= ．從而OM⊥MN．

因為 ， ，

所以在Rt△MON中， ，因此 ．

從而有 ，解得

【解析】（1）確定 ，利用 是橢圓上的一個點，代入求出a，即可求橢圓的標準方程；（2）求出M，N的坐標，利用平面向量的數量積判斷OM⊥MN，利用△MON的面積為 ，建立方程，即可求y0的值．