Question

（本小題滿分12分）函數f(x)對任意的a、b∈R,都有f(a+b)="f(a)+" f(b)-1,并且
當x＞0時，f(x)＞1.
（1）求證：f(x)是R上的增函數；
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m²-m-2)＜3.

Answer 1

（1）略
（2）-1＜m＜

解 （1）設x₁,x₂∈R，且x₁＜x₂,
則x₂- x₁＞0,∴f(x₂- x₁)＞1.            2分
f(x₂)-f(x₁)=f((x₂- x₁)+ x₁)-f(x₁)
=f(x₂- x₁)+f(x₁)-1-f(x₁)=f(x₂- x₁)-1＞0.   5分
∴f（x₂）＞f(x₁).
即f(x)是R上的增函數.                       6分
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，
∴f（2）=3，                          8分
∴原不等式可化為f(3m²-m-2)＜f(2),
∵f(x)是R上的增函數，∴3m²-m-2＜2,            10分
解得-1＜m＜,故解集為（-1,）.                       12分