Question

【題目】已知函數．

（1）若函數有兩個極值點，求實數a的取值范圍；

（2）若對任意都恒成立，求證：a的最大值大于8．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見詳解.

【解析】

（1）將問題轉化為有兩個不同的實數根，分離參數，構造新的函數，利用導數研究函數單調性和值域，從而求參數范圍；

（2）將恒成立問題，經過分離參數后，轉化為函數最值的問題，從而進行證明.

（1）由

可得，

函數有兩個極值點等價于有兩個不同的實數根，

也等價于 有兩個不同的實數根（顯然不是根）

令，則，

在單減，上單減，上單增；

且時，，

時，，

有兩解，需，即，

下證是有兩解的必要條件：

當時，，，，

在上有且只有一個解，

又因為，.

在上有且只有一個解，

綜上所述：；

（2）因為等價于：

等價于對恒成立，

①當或1時，滿足；

②當時，顯然大于0，

故恒成立，

等價于恒成立，

等價于恒成立.

而欲證

即證即可.

就是證：

也就是證明：

，對任意的恒成立.

先證：，．

令，．

因為，

所以在上單調遞增，

則有，

，．

所以，要證，，

需證，，

即證恒成立

也就是證：恒成立

而顯然成立，

故恒成立

即恒成立

，對任意的恒成立.

成立

故成立，即證.