Question

設等比數列{a_n}的前n項和S_n，首項a₁=1，公比．
（Ⅰ）證明：S_n=（1+λ）-λa_n；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足，b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2），求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）若λ=1，記，數列{c_n}的前項和為T_n，求證：當n≥2時，2≤T_n＜4．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：
而所以S_n=（1+λ）-λa_n
（Ⅱ），∴，∴，

∴是首項為，公差為1的等差數列，，即．

（Ⅲ）λ=1時，，∴

∴∴
相減得∴
∴，
又因為，∴T_n單調遞增，
∴T_n≥T₂=2，故當n≥2時，2≤T_n＜4．

分析：（Ⅰ）先求等比數列{a_n}的前n項和S_n，再表達出，故可證；
（II）先求出b_n，再進一步變形，判斷出是等差數列，根據等差數列的通項公式求出{b_n}的通項公式；
（III）先求出C_n，再由錯位相減法求出該數列的前n項和為T_n．
點評：本題是數列的綜合題，考查等差數列、等比數列的通項公式，涉及了錯位相減法求數列的前n項和，考查了分析問題和解決問題的能力．