Question

甲乙兩支排球隊進行比賽，先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束．除第五局甲隊獲勝的概率是，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是．設各局比賽結果相互獨立．
（1）分別求甲隊3：0，3：1，3：2勝利的概率；
（2）若比賽結果3：0或3：1，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結果為3：2，則勝利方得2分，對方得1分，求乙隊得分X的分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）甲隊獲勝有三種情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每種情形的最后一局肯定是甲隊勝，分別求出相應的概率，最后根據互斥事件的概率公式求出甲隊獲得這次比賽勝利的概率；
（2）X的取值可能為0，1，2，3，然后利用相互獨立事件的概率乘法公式求出相應的概率，列出分布列，最后根據數學期望公式解之即可．
解答：解：（1）甲隊獲勝有三種情形，其每種情形的最后一局肯定是甲隊勝
①3：0，概率為P₁=（）³=；
②3：1，概率為P₂=C（）²×（1-）×=；
③3：2，概率為P₃=C（）²×（1-）²×=
∴甲隊3：0，3：1，3：2勝利的概率：．
（2）乙隊得分X，則X的取值可能為0，1，2，3．
由（1）知P（X=0）=P₁+P₂=；
P（X=1）=P₃=；
P（X=2）=C（1-）²×（）²×=；
P（X=3）=（1-）³+C（1-）²×（）×=；
則X的分布列為

X	3	2	1
P

E（X）=3×+2×+1×+0×=．
點評：本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機變量的期望與分布列，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．