Question

【題目】已知點(diǎn)A（0，4），拋物線C：x2＝2py（0＜p＜4）的準(zhǔn)線為1，點(diǎn)P在C上，作PH⊥l于H，且|PH|＝|PA|，∠APH＝120°，則拋物線方程為_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F（），則|AF|＝4，由拋物線的定義可知，|PH|＝|PF|＝|PA|，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q，則Q為AF的中點(diǎn)，結(jié)合∠APH＝120°，可以用p表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后將其代入拋物線方程，列出關(guān)于p的方程，解之可得p的值，從而求得拋物線的方程.

解：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F（），|AF|＝4，由拋物線的定義可知，|PH|＝|PF|，

∵|PH|＝|PA|，∴|PA|＝|PF|，

不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q，則Q為AF的中點(diǎn)，|AQ|＝|FQ||AF|，

∵∠APH＝120°，∴∠APQ＝120°﹣90°＝30°，∴|PQ|，|OQ|＝|FQ|+|OF|2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

∵點(diǎn)P在拋物線C上，∴，化簡(jiǎn)得5p2+112p﹣192＝0，解之得（舍負(fù)），

∴拋物線方程為.

故答案為：.