Question

（2007•河東區一模）已知正四棱錐以棱長為1的正方體的某個面為底面，且與該正方體有相同的全面積，則這一正四棱錐的側棱與底面所成角的余弦值為（　　）

• A．

  13

  13

• B．

  3

  6

• C．

  3

  3

• D．

  26

  26

Answer 1

分析：根據題意，算出正四棱錐一個側面的面積為

5

4

，從而算出斜高h=

5

2

，進而得出它的側棱長為

26

2

．再由正四棱錐的定義得側棱在底面的射影長為底面對角線的一半，結合直線與平面所成角的定義即可算出正四棱錐的側棱與底面所成角的余弦值．

解答：解：∵棱長為1的正方體，全面積為6
∴題中正四棱錐的側面積為5，可得一個側面的面積為

5

4

設它的側棱長為l，則它的斜高h=

l2-( 1 2 )2

∵一個側面的面積為S=

1

2

×1×h=

5

4

∴h=

5

2

，即

l2-( 1 2 )2

=

5

2

，解之得側棱長l=

26

2

又∵正四棱錐中，側棱在底面的射影長為底面對角線的一半
∴正四棱錐的側棱與底面所成角為α，則cosα=

2 2

26 2

=

13

13

即這一正四棱錐的側棱與底面所成角的余弦值為

13

13

故選：A

點評：本題給出特殊的正四棱錐，求它的側棱與底面所成角的大小．著重考查了正四棱錐的性質、解三角形和直線與平面所成角的定義及求法等知識，屬于中檔題．