Question

如圖，某海面上有O、A、B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的東北方向20

2

km處，B島在O島的正東方向10km處．
（1）以O為坐標原點，O的正東方向為x軸正方向，1km為單位長度，建立平面直角坐標系，試寫出A、B的坐標，并求A、B兩島之間的距離；
（2）已知在經過O、A、B三個點的圓形區域內有未知暗礁，現有一船在O島的南偏西30°方向距O島20km處，正沿東北方向行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？

Answer 1

分析：（1）如圖所示：由已知A在O的東北方向20

2

km，B在O的正東方向10km．即可得到A(20

2

cos45°，20

2

sin45°)．再利用兩點間的距離公式即可得到|AB|．
（2）設過O、A、B三點的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0．將O（0，0）、A（20，20），B（10，0）代入上式即可解得D，E，F．即可得到圓的方程．得到圓心與半徑．設船起初所在的點為C，則C(-10，-10

3

)，且該船航線所在直線的斜率為1，由點斜式方程即可得到直線方程．利用點到直線的距離公式即可圓心到直線的距離，再與半徑比較即可．

解答：解：（1）如圖所示：∵A在O的東北方向20

2

km，B在O的正東方向10km．
∴A(20

2

cos45°，20

2

sin45°)，即A（20，20），B（10，0）．
由兩點間的距離公式知|AB|=

(20-10)2+202

=10

5

km．
（2）設過O、A、B三點的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0．
將O（0，0）、A（20，20），B（10，0）代入上式得：

F=0 202+202+20D+20E+F=0 102+10D+F=0

，
解得：D=-10，E=-30，F=0．
∴圓的方程為x²+y²-10x-30y=0．圓心為（5，15），r=5

10

．
設船起初所在的點為C，則C(-10，-10

3

)，
且該船航線所在直線的斜率為1，
由點斜式方程知：y+10

3

=x+10
即：x-y+10-10

3

=0．
圓心到此直線的距離d=

|5-15+10-10 3 |

2

=5

6

＜5

10

．
∴有觸礁的危險．

點評：熟練掌握圓的標準方程與一般式方程、點到直線的距離公式等是解題的關鍵．