Question

【題目】在無窮數列中，，對于任意，都有，，設，記使得成立的的最大值為．

（）設數列為，，，，，寫出，，的值．

（）若為等差數列，求出所有可能的數列．

（）設，，求的值．（用，，表示）

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）根據使得成立的的最大值為，即可寫出，，的值；

（2）若為等差數列，先判斷，再證明，即可求出所有可能的數列．

（Ⅲ）由，，利用的定義能推導出．

試題解析:

（）∵，則，，

則，，則；

∴，，．

（）由題可得，

可得．

又∵使得成立的的最大值為，

使得成立的的最大值為，

∴，．

設，則．

若，則．

則當時，；

當時，，

∴，．

∵為等差數列，

∴公差，

∴，

這與矛盾，

∴．

又∵，

∴，

由為等差數列，得．

∵使得成立的的最大值為，

∴，

又∵，

∴．

（）．

∵，

∴且，

∴數列中等于的項共有個，

即個，

設，，

則，且，

∴數列等于的項有個，即個，

以此類推：數列中等于的項共有個．

∴

．

即：．