Question

【題目】如圖為一個纜車示意圖，該纜車半徑為4.8m，圓上最低點與地面距離為0.8m,60秒轉動一圈，圖中OA與地面垂直，以OA為始邊，逆時針轉動θ角到OB，設B點與地面距離是h.

(1)求h與θ間的函數關系式；

(2)設從OA開始轉動，經過t秒后到達OB，求h與t之間的函數關系式，并求纜車到達最高點時用的最少時間是多少？

Answer 1

【答案】(1)以圓心O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，

則以Ox為始邊，OB為終邊的角為θ－，

故點B的坐標為

(4.8cos，4.8sin)，

∴h＝5.6＋4.8sin.

(2)點A在圓上轉動的角速度是，故t秒轉過的弧度數為t，

∴h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)．

到達最高點時，h＝10.4 m.

由sin＝1

得t－＝，

∴t＝30

∴纜車到達最高點時，用的時間最少為30秒

【解析】

（1）建立平面直角坐標系，結合條件求出點的坐標后可得h與θ間的函數關系式．（2）由t s轉過的弧度數為可得θ與t的關系，代入（1）中的關系式可得h與t之間的函數解析式，然后通過最值可得所求的最小時間．

(1)以圓心原點，建立如圖所示的坐標系，如下圖所示，

則以為始邊，為終邊的角為，

故點B坐標為．

∴．

（2）點A在圓上轉動的角速度是，故t s轉過的弧度數為，

∴，

∴．

令，

得，

∴，

∴．

令，得t=30 s．

∴纜車到達最高點時，用的時間最少為30 s．