Question

（2012•湖北模擬）已知a為常數，a∈R，函數f（x）=x²+ax-lnx，g（x）=e^x．（其中e是自然對數的底數）
（Ⅰ）過坐標原點O作曲線y=f（x）的切線，設切點為P（x₀，y₀），求證：x₀=1；
（Ⅱ）令F(x)=

f(x)

g(x)

，若函數F（x）在區間（0，1]上是單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先對函數求導，f′(x)=2x+a-

1

x

，可得切線的斜率k=2x0+a-

1

x0

=

y0

x0

=

x02+ax0-lnx0

x0

，即x02+lnx0-1=0，由x₀=1是方程的解，且y=x²+lnx-1在（0，+∞）上是增函數，可證
（Ⅱ）由F(x)=

f(x)

g(x)

=

x2+ax-lnx

ex

，F′(x)=

-x2+(2-a)x+a- 1 x +lnx

ex

，先研究函數h(x)=-x2+(2-a)x+a-

1

x

+lnx，則h′(x)=-2x+

1

x2

+

1

x

+2-a．
由h'（x）在（0，1]上是減函數，可得h'（x）≥h'（1）=2-a，通過研究2-a的正負可判斷h（x）的單調性，進而可得函數F（x）的單調性，可求

解答：解：（I）f′(x)=2x+a-

1

x

（x＞0）．  …（2分）
過切點P（x₀，y₀）的切線的斜率k=2x0+a-

1

x0

=

y0

x0

=

x02+ax0-lnx0

x0

整理得x02+lnx0-1=0．…（4分）
顯然，x₀=1是這個方程的解，又因為y=x²+lnx-1在（0，+∞）上是增函數，
所以方程x²+lnx-1=0有唯一實數解．故x₀=1．…（6分）
（Ⅱ）F(x)=

f(x)

g(x)

=

x2+ax-lnx

ex

，F′(x)=

-x2+(2-a)x+a- 1 x +lnx

ex

．…（8分）
設h(x)=-x2+(2-a)x+a-

1

x

+lnx，則h′(x)=-2x+

1

x2

+

1

x

+2-a．
易知h'（x）在（0，1]上是減函數，從而h'（x）≥h'（1）=2-a．   …（10分）
（1）當2-a≥0，即a≤2時，h'（x）≥0，h（x）在區間（0，1）上是增函數．
∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即F'（x）≤0在（0，1]上恒成立．
∴F（x）在區間（0，1]上是減函數．
所以，a≤2滿足題意．            …（12分）
（2）當2-a＜0，即a＞2時，設函數h'（x）的唯一零點為x₀，
則h（x）在（0，x₀）上遞增，在（x₀，1）上遞減．又∵h（1）=0，∴h（x₀）＞0．
又∵h（e^-a）=-e^-2a+（2-a）e^-a+a-e^a+lne^-a＜0，
∴h（x）在（0，1）內有唯一一個零點x'，
當x∈（0，x'）時，h（x）＜0，當x∈（x'，1）時，h（x）＞0．
從而F（x）在（0，x'）遞減，在（x'，1）遞增，與在區間（0，1]上是單調函數矛盾．
∴a＞2不合題意．
綜合（1）（2）得，a≤2．           …（15分）

點評：考查學生利用導數研究函數的單調能力，函數單調性的判定，以及導數的運算，試題具有一定的綜合性．