Question

已知圓C：x²＋y²＋2x－4y＋3＝0.
(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；
(2)從圓C外一點P(x₁，y₁)向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的點P的坐標．

Answer 1

（1）y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0；（2）.

解析試題分析：（1）圓的方程化為標準方程，求出圓心與半徑，再分類討論，設出切線方程，利用直線是切線建立方程，即可得出結論；
（2）先確定P的軌跡方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可.
試題解析：(1)將圓C配方得：(x＋1)²＋(y－2)²＝2.
①當直線在兩坐標軸上的截距為零時，設直線方程為y＝kx，由直線與圓相切得：y＝(2±)x.
②當直線在兩坐標軸上的截距不為零時，設直線方程為x＋y－a＝0，由直線與圓相切得：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.故切線方程為y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
(2)由|PO|＝|PM|，得：
＝(x₁＋1)²＋(y₁－2)²－2⇒2x₁－4y₁＋3＝0.即點P在直線l：2x－4y＋3＝0上，當|PM|取最小值時即|OP|取得最小值，直線OP⊥l.
∴直線OP的方程為：2x＋y＝0.解方程組得P點坐標為.
考點：直線和圓的方程的應用．