Question

已知直線與曲線恰有兩個不同的交點，記k的所有可能取值構成集合A；P(x，y)是橢圓上一動點，與點P關于直線y＝x＋1對稱，記的所有可能取值構成集合B，若隨機的從集合A，B中分別抽出一個元素，則的概率是___________

Answer 1

解析試題分析：由，當x≥0時，顯然k＞0，兩邊平方得
，即
由題意，該方程有兩個不相等的正實數根
即即結合k＞0解得k∈(0，1)，即A＝(0，1)
對于橢圓，由于原點關于y＝x＋1的對稱點為(－1，1)
所以，橢圓關于y＝x＋1的對稱橢圓為，
在改橢圓上，可知y₁－1∈[－4，4]
于是∈[－1，1]，即B＝[－1，1]
【方法一】由，分別以為橫坐標和縱坐標，
可知點()構成一個面積為2的矩形
其中滿足的是圖中陰影部分，面積為
所以，滿足的概率是

【方法二】當時，此事件發生的概率為，此時必有
當時，此事件發生的概率為，此時與概率相等，各占，于是此時滿足的概率為.
以上兩事件互斥，且[－1，0]與(0，1]的區間長度相等，故滿足的概率為.
考點：直線與曲線的交點，軸對稱圖形，坐標的取值范圍，幾何概型.