Question

已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=2^-x．
（1）求出x∈R時，f（x）的解析式，并畫出函數f（x）的圖象（在如圖的坐標系中）；
（2）寫出f（x）的單調區間及值域（不要求寫出過程）．

Answer 1

分析：（1）設x＜0，則-x＞0，代入已知解析式，利用偶函數的定義，即可求得x＜0的解析式，從而得到f（x）的解析式；
（2）對分段函數分段進行判斷，即可得到函數的單調區間及值域．

解答：解：（1）設x＜0，則-x＞0，
∵當x≥0時，f（x）=2^-x，
∴f（-x）=2^x，
∵函數f（x）是定義在R上的偶函數，
∴f（x）=f（-x），
∴當x＜0時，f（x）=f（-x）=2^x，
∴f(x)=

2-x，x≥0 2x，x＜0

（或f(x)=(

1

2

)|x|），
圖象如右圖所示．
（2）根據圖象可得，增區間（-∞，0），減區間（0，+∞），（或增區間（-∞，0]，減區間[0，+∞）），值域為（0，1]．

點評：本題考查了函數的解析式，函數的奇偶性，函數的值域，函數的單調性以及函數的圖象．對于分段函數，一般選用數形結合和分類討論的數學思想方法進行處理．屬于基礎題．