Question

如圖⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點，BM的延長線交⊙O于點N，過點N的切線交CA的延長線于P.
（1）求證：;
（2）若⊙O的半徑為，OA=OM,求MN的長.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）2．

試題分析：
解題思路：（1）利用等腰三角形與切割線定理進行證明；（2）利用三角形的相似性進行求解.
規律總結：直線與圓的位置關系，是平面幾何問題的常見題型，常考知識由：圓內接四邊形、切割線定理、相似三角形、全等三角形等.
試題解析：（1）連結ON，則ON⊥PN，且△OBN為等腰三角形，
則∠OBN=∠ONB，∵∠PMN=∠OMB=90⁰-∠OBN，∠PNM=90⁰-∠ONB
∴∠PMN=∠PNM, ∴PM=PN                      
由條件，根據切割線定理，有
所以                          
（2）OM=2，在Rt△BOM中，
延長BO交⊙O于點D，連接DN
由條件易知△BOM∽△BND，于是
即，得BN=6                           
所以MN=BN-BM=6-4=2.