Question

已知函數f （x）=x³+（1-a）x²-3ax+1，a＞0．
（Ⅰ） 證明：對于正數a，存在正數p，使得當x∈[0，p]時，有-1≤f （x）≤1；
（Ⅱ）  設（Ⅰ）中的p的最大值為g（a），求g（a）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）對f（x）進行求導，利用導數研究函數f（x）的單調性，求得極值點，從而求出f（x）的值域；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f （x）在[0，+∞）上的最小值為f （a），需要分類討論：0＜a≤1或a＞1，對于g（a）的表達式，對其進行求導研究其最值問題；
解答：解：（Ⅰ） 由于 f′（x）=3x²+3（1-a）x-3a=3（x+1）（x-a），且a＞0，
故f （x）在[0，a]上單調遞減，在[a，+∞）上單調遞增．
又f （0）=1，f （a）=-a³-a²+1=（1-a）（a+2）²-1．
當f （a）≥-1時，取p=a．
此時，當x∈[0，p]時有-1≤f （x）≤1成立．
當f （a）＜-1時，由于f （0）+1=2＞0，f （a）+1＜0，
故存在p∈（0，a）使得f （p）+1=0．
此時，當x∈[0，p]時有-1≤f （x）≤1成立．
綜上，對于正數a，存在正數p，使得當x∈[0，p]時，有-1≤f （x）≤1．
…（7分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f （x）在[0，+∞）上的最小值為f （a）．
當0＜a≤1時，f （a）≥-1，則g（a）是方程f （p）=1滿足p＞a的實根，
即2p²+3（1-a）p-6a=0滿足p＞a的實根，所以
g（a）=．
又g（a）在（0，1]上單調遞增，故
g（a）_max=g（1）=．
當a＞1時，f （a）＜-1．
由于f （0）=1，f （1）=（1-a）-1＜-1，故
[0，p]?[0，1]．
此時，g（a）≤1．
綜上所述，g（a）的最大值為．
…（14分）
點評：本題主要考查利用導數研究函數的性質等基礎知識，同時考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力和創新意識，是一道中檔題，也是高考的熱點問題；