Question

(14分) 已知等差數列{a_n}的首項a₁＝1，公差d＞0，且第二項、第五項、

第十四項分別是一個等比數列的第二項、第三項、第四項．

（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；

（Ⅱ）設b_n＝（n∈N^*），S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n，求S_n ；

（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的S_{n ，}是否存在實數t，使得對任意的n均有：

成立？若存在，求出的范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

(14分) 解：（Ⅰ）由題意得（a₁＋d）（a₁＋13d）=（a₁＋4d）²，

整理得2a₁d＝d²．

∵a₁＝1，解得（d＝0舍），d＝2． 

∴a_n＝2n－1（n∈N^*）． 

（Ⅱ）b_n＝＝＝（－），

∴S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n＝［（1－）＋（－）＋…＋（－）］

＝（1－）＝． 

（Ⅲ）假設存在整數t滿足總成立.

得，而，即，

∴適合