Question

已知橢圓D：x2+

y2

b2

=1(0＜b＜1)的左焦點為F，其左右頂點為A、C，橢圓與y軸正半軸的交點為B，△FBC的外接圓的圓心P（m，n）在直線x+y=0上．
（Ⅰ）求橢圓D的方程；
（Ⅱ）已知直線l：x=-

2

，N是橢圓D上的動點，NM⊥l，垂足為M，是否存在點N，使得△FMN為等腰三角形？若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出FC的垂直平分線方程，BC的垂直平分線的方程，從而可得P的坐標，利用P（m，n）在直線x+y=0上，結合b²=1-c²，即可求得橢圓D的方程；
（Ⅱ）設N（x，y），求出|MN|，|FN|，|MF|，利用△FMN為等腰三角形，分類討論，即可求得點N的坐標．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，
設F的坐標為（-c，0）（c＞0），則FC的垂直平分線方程為x=

1-c

2

…①
因為BC的中點坐標為(

1

2

，

b

2

)，BC的斜率為-b
所以BC的垂直平分線的方程為y-

b

2

=

1

b

(x-

1

2

)…②
聯立①②解得：x=

1-c

2

，y=

b2-c

2b

即m=

1-c

2

，n=

b2-c

2b

因為P（m，n）在直線x+y=0上，所以

1-c

2

+

b2-c

2b

=0…（4分）
即（1+b）（b-c）=0
因為1+b＞0，所以b=c
再由b²=1-c²求得b2=c2=

1

2

所以橢圓D的方程為x²+2y²=1…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：F(-

2

2

，0)，橢圓上的點橫坐標滿足-1≤x≤1
設N（x，y），由題意得M(-

2

，y)，則|MN|=x+

2

，|FN|=

(x+ 2 2 )2+y2

，|MF|=

1 2 +y2

①若|MN|=|FN|，即

(x+ 2 )2

=

(x+ 2 2 )2+y2

與x²+2y²=1聯立，解得x=-

2

＜-1，顯然不符合條件…（9分）
②|MN|=|MF|，即

(x+ 2 )2

=

1 2 +y2

與x²+2y²=1聯立，解得：x=-

2

3

，x=-

2

＜-1（顯然不符合條件，舍去）
所以滿足條件的點N的坐標為(-

2

3

，±

14

6

)…（11分）
③若|FN|=|MF|，即

(x+ 2 2 )2+y2

=

1 2 +y2

解得x=0，x=-

2

＜-1（顯然不符合條件，舍去）
此時所以滿足條件的點N的坐標為(0，±

2

2

)…（13分）
綜上，存在點N(-

2

3

，±

14

6

)或(0，±

2

2

)，使得△FMN為等腰三角形…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．