Question

【題目】已知直線上有一個動點，過點作直線垂直于軸，動點在上，且滿足（為坐標原點），記點的軌跡為.

（I）求曲線的方程；

（II）若直線是曲線的一條切線，當點到直線的距離最短時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ｉ）；（II）.

【解析】試題分析：（I）設點，點，則由可得曲線的軌跡方程；（II）直線的斜率存在，設直線的方程為，聯立曲線的方程，消去得， 可得，利用點到直線的距離公式和基本不等式求得時，點到直線的距離最短，此時，即可得直線的方程.

試題解析：

（I）設點，點，

因為，所以，即，

當時， 三點共線，不合題意，故，

所以曲線的方程為；

（II）直線與曲線相切，所以直線的斜率存在，

設直線的方程為，

由，得，

直線與曲線相切，

，

點到直線的距離

，

當且僅當時等號成立，此時，

所以直線的方程為.