Question

【題目】如圖，在五面體 中，四邊形 是邊長為 的正方形， 平面 ， ， ， ， .

（1）求證： 平面 ；
（2）求直線 與平面 所成角的正切值.

Answer 1

【答案】
（1）證明：取 的中點 ，連接 ，則 ，

由（1）知， ，且 ， 四邊形 為平行四邊形， ， ，
在 中， ，又 ，得 ， ，
在 中， ， ， ， ， ， ，即 ，
四邊形 是正方形， ， ， 平面 ， 平面 ， 平面
（2）解：解法1：連接 ， 與 相交于點 ，則點 是 的中點，
取 的中點 ，連接 、 、 ，

則 ， .
由（1）知 ，且 ， ，且 . 四邊形 是平行四邊形. ，且 ，
由（1）知 平面 ，又 平面 ， .
， ， 平面 ， 平面 ， 平面 . 平面 .
平面 ， .
， ， 平面 ， 平面 ， 平面 . 是直線 與平面 所成的角.
在 中， . 直線 與平面 所成角的正切值為 ；
【解析】(1)根據題意作出輔助線利用平行四邊形以及勾股定理可得出分別求出 E M、 F B的值，再利用勾股定理可得證A M ⊥ E M結合已知由線面垂直的判定定理可得證。(2)結合已知作出輔助線利用平行四邊形和(1)的結論可得證FH⊥AB，由線面垂直的判定定理結合已知條件可得證E O ⊥ 平面 A B C D，再由線面垂直的性質定理可得出E O ⊥ A O ，進而找到直線AE在平面BDE上的射影故∠ A E O 是直線 A E 與平面 B D E 所成的角，借助解三角形的知識求出其值即可。