Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=

1

2

，點(diǎn)（n，2a_n+1-a_n）在直線y=x上，n∈N^*．
（1）令b_n=a_n+1-a_n-1，證明：{b_n}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)S_n、T_n分別為數(shù)列{a_n}、{b_n}的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{

Sn+λTn

n

}為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值，并給出證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)（n，2a_n+1-a_n）在直線y=x上，可得2a_n+1-a_n=n，利用b_n=a_n+1-a_n-1，即可證得{b_n}為等比數(shù)列；
（2）a_n+1-a_n=1+b_n=1-

3

4

×(

1

2

)n-1，疊加可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）存在λ=2，使數(shù)列{

Sn+λTn

n

}是等差數(shù)列．利用S_n=

n(n-3)

2

+3[1-(

1

2

)n]，T_n=

3

2

[(

1

2

)n-1]，求得前三項(xiàng)，即可求得結(jié)論．

解答：（1）證明：∵點(diǎn)（n，2a_n+1-a_n）在直線y=x上，∴2a_n+1-a_n=n
∵b_n=a_n+1-a_n-1，∴2b_n+1=a_n+1-a_n-1=b_n，
∵a1=

1

2

，2a_n+1-a_n=n
∴a₂=

3

4

，
∴b₁=a₂-a₁-1=-

3

4

≠0
∴{b_n}為等比數(shù)列；
（2）解：a_n+1-a_n=1+b_n=1-

3

4

×(

1

2

)n-1
疊加可得：a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）+a₁=n-2+3×(

1

2

)n
（3）解：存在λ=2，使數(shù)列{

Sn+λTn

n

}是等差數(shù)列．
S_n=

n(n-3)

2

+3[1-(

1

2

)n]，T_n=

3

2

[(

1

2

)n-1]
∴

S1+λT1

1

=

1

2

-

3

4

λ，

S2+λT2

2

=

10-9λ

16

，

S3+λT3

3

=

42-21λ

48

數(shù)列{

Sn+λTn

n

}是等差數(shù)列
∴2×

10-9λ

16

=

1

2

-

3

4

λ+

42-21λ

48

，∴λ=2
當(dāng)λ=2時(shí)，

Sn+λTn

n

=

n-3

2

，數(shù)列是等差數(shù)列
∴當(dāng)且僅當(dāng)λ=2時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的定義，考查疊加法的運(yùn)用，考查是否存在性問題的探究，綜合性強(qiáng)．