Question

選做題
A．選修4-2矩陣與變換
已知矩陣A=

.

1 2 -1 4

.

，向量

a

=

.

7 4

.

．
（Ⅰ）求A的特征值λ₁、λ₂和特征向量α₁、α₂；   （Ⅱ）計算A⁶α的值．
B．選修4-4坐標系與參數方程
已知直線l的參數方程為

x=4-2t y=t-2

（t為參數），P是橢圓

x2

4

+y2=1上任意一點，求點P到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析：A：（I）本題考查矩陣的特征值及特征向量，先根據特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量．
（II）對某個向量連續施行多次變化的計算；
B：將直線的參數方程化成普通方程為x+2y=0，并設橢圓上任一點P為（2cosθ，sinθ），則可根據點到直線的距離公式得到：P到直線l的距離是一個關于θ的函數，即可求解

解答：A解：（Ⅰ）矩陣A的特征多項式為：f（λ）=

.

λ-1 -2 1 λ-4

.

=λ²-5λ+6=0
得：λ₁=2，λ₂=3，當λ₁=2時，解得α₁=（2，1）
當λ₂=3時，解得α₂=（1，1）．
（Ⅱ）由α=mα₁+nα₂
得

2m+n=7 m+n=4

解得：

m=3 n=1

由（2）得：A⁵α=A⁵（3α₁+α₂）=3（A⁵α₁）+A⁵α₂=3（λ₁⁵α₁）+λ₂⁵α₂=3×2⁵×（2，1）+3⁵×（1，1）=（435，339）
B．坐標系與參數方程
解：直線l的參數方程為

x=4-2t y=t-2

（t為參數）故直線l的普通方程為x+2y=0
因為p為橢圓

x2

4

+y2=1上任意點，故可設P（2cosθ，sinθ）其中θ∈R．
因此點P到直線l的距離是d=

|2cosθ+2sinθ|

12+22

=

2 2 |sin(θ+ π 4 )|

5

所以當θ=kπ+

π

4

，k∈z時，d取得最大值

2 5

5

．

點評：本題考查了二階矩陣，直線的參數方程，直線與圓錐曲線的綜合問題屬于基礎題．