Question

本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分
（1）已知矩陣M=

1 2 2 1

，β=

1 7

，（Ⅰ）求M^-1；（Ⅱ）求矩陣M的特征值和對應(yīng)的特征向量；（Ⅲ）計(jì)算M¹⁰⁰β．
（2）曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=1+cosθ，點(diǎn)A的極坐標(biāo)是（2，0），求曲線C在它所在的平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形的周長．
（3）已知a＞0，求證：

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）根據(jù)逆矩陣公式可求M^-1，
（Ⅱ）先求特征值，M的特征值滿足：

.

λ-1 -2 -2 λ-1

.

=(λ-1)(λ-1)-4=0，λ₁=3，λ₂=-1，進(jìn)而可求對應(yīng)的特征向量；（Ⅲ）先將β用特征向量進(jìn)行表示，即β=4α₁+-3α₂，再求M¹⁰⁰β；
（2）設(shè)P（ρ，θ）是曲線C上的任意一點(diǎn)，則|OP|=ρ=1+cosθ，點(diǎn)A在曲線C上，曲線C在它所在的平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形是以點(diǎn)A為圓心、|AP|為半徑的圓，故可求其周長．
（3）利用分析法證明．原不等式等價(jià)于：

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

，兩邊平方
a2+

1

a2

+2

a2+ 1 a2

+4≥(a+

1

a

)2+2

2

(a+

1

a

)+2，從而可將問題轉(zhuǎn)化為證明a2+

1

a2

≥2即可．

解答：（1）解：（Ⅰ）∵M=

1 2 2 1

∴1×1-2×2=-3
∴M^-1=

- 1 3 2 3 2 3 - 1 3

．
（Ⅱ）M的特征值滿足：

.

λ-1 -2 -2 λ-1

.

=(λ-1)(λ-1)-4=0
∴λ₁=3，λ₂=-1
λ₁=3時(shí)，由方程組

2x-2y=0 -2x+2y=0

，對應(yīng)的特征向量為：α1=

1 1

λ₂=-1時(shí)，由方程組

-2x-2y=0 -2x-2y=0

，對應(yīng)的特征向量為α2=

1 -1

，
（Ⅲ）令β=mα₁+nα₂，將具體數(shù)據(jù)代入得：m=4，n=-3，

M100β=M100(4α1-3α2) =4(M100α1)-3(M100α2) =4•3100 1 1 -3•(-1)100 1 -1 = 4•3100-3 4•3100+3

（2）解：設(shè)P（ρ，θ）是曲線C上的任意一點(diǎn)，則|OP|=ρ=1+cosθ，
由余弦定理，得|AP|²=|OP|²+|OA|²-2|OP|•|OA|cosθ
=（1+cosθ）²+2²-4(1+cosθ)cosθ=

16

3

-3(cosθ+

1

3

)2，
當(dāng)cosθ=-

1

3

時(shí)，|AP|有最大值為

16 3

，
將點(diǎn)A（2，0）代入曲線C的極坐標(biāo)方程，是滿足的，知點(diǎn)A在曲線C上，
所以曲線C在它所在的平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形是以點(diǎn)A為圓心、
|AP|=

16 3

為半徑的圓，其周長為2π

16 3

．
（3）證明：原不等式等價(jià)于：

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

等價(jià)于：a2+

1

a2

+2

a2+ 1 a2

+4≥(a+

1

a

)2+2

2

(a+

1

a

)+2
即：

a2+ 1 a2

≥

2

(a+

1

a

)
上式等價(jià)于：a2+

1

a2

≥2(a2+

1

a2

+2)
即：a2+

1

a2

≥2
由基本不等式：a2+

1

a2

≥2，上式顯然成立，
∴原不等式成立．

點(diǎn)評：本題是選做題，涉及矩陣，極坐標(biāo)方程，不等式的證明，綜合性強(qiáng)，掌握的知識點(diǎn)多，屬于中檔題．