Question

某建筑的金屬支架如圖所示，根據要求AB至少長2.8m，C為AB的中點，B到D的距離比CD的長小0.5m，∠BCD=60°，已知建筑支架的材料每米的價格一定，問怎樣設計AB，CD的長，可使建造這個支架的成本最低？

Answer 1

分析：通過三角形中的余弦定理得到a，b的等量關系；通過換元轉化成積是定值；求和的最小值問題；再利用基本不等式解．

解答：解：設BC=am（a≥1，4），CD=bm．連接BD．則BD=b-

1

2

則在△CDB中，(b-

1

2

)2=b2+a2-2abcos60°，
∴b=

a2- 1 4

a-1

，
∴b+2a=

a2- 1 4

a-1

+2a，
設t=a-1，t≥

2.8

2

-1=0.4，
則b+2a=

(t+1)2- 1 4

t

+2(t+1)=3t+

3

4t

+4≥7，
等號成立時t=0.5＞0.4，a=1.5，b=4．
答：當AB=3m，CD=4m時，建造這個支架的成本最低．

點評：本題考查解三角形；數學上的換元思想；用基本不等式求函數最值．