Question

（本題滿分12分） 設函數（），．

(1) 將函數圖象向右平移一個單位即可得到函數的圖象，試寫出的解析式及值域；

(2) 關于的不等式的解集中的整數恰有3個，求實數的取值范圍；

(3) 對于函數與定義域上的任意實數，若存在常數，使得和都成立，則稱直線為函數與的“分界線”．設，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1），值域為　　　　　　　　　…………2分

（2）解法一:不等式的解集中的整數恰有3個，

等價于恰有三個整數解，故，　　　　　　

令，由且，

所以函數的一個零點在區間，

則另一個零點一定在區間，……4分

故解之得．　　　…6分

解法二：恰有三個整數解，故，即，

，

所以，又因為，　……4分

所以，解之得．　　　　　　　　　　　……6分

（3）設，則．

所以當時，；當時，．

因此時，取得最小值，

則與的圖象在處有公共點．　　　　　8分

設與存在 “分界線”，方程為，

即，

由在恒成立，則在恒成立 ．

所以成立，

因此．　　　　　　　　　　　　　　…8分

下面證明恒成立．

 設，則．

 所以當時，；當時，．

因此時取得最大值，則成立．

故所求“分界線”方程為：．

【解析】略