Question

已知，(且)．
（1）過作曲線的切線，求切線方程；
（2）設在定義域上為減函數，且其導函數存在零點，求實數的值．

Answer 1

(1)∵f(0)＝0，∴P(0,2)不在曲線y＝f(x)上，
設切點為Q(x₀，y₀)，∵f′(x)＝2－x，
∴k＝f′(x₀)＝2－x₀，且y₀＝f(x₀)＝2x₀－，
∴切線方程為y－2x₀＋＝(2－x₀)(x－x₀)，即y＝(2－x₀)x＋，   ……3分
∵(0,2)在切線上，代入可得x₀＝±2，……………………………5分
∴切線方程為y＝2或y＝4x＋2. …………………………………7分
(2)h(x)＝2x－x²－log_ax在(0，＋∞)上遞減，
∴h′(x)＝2－x－≤0在(0，＋∞)上恒成立，
∵x>0，∴≥2x－x²在(0，＋∞)上恒成立．
又2x－x²∈(－∞，1]，∴≥1，∴0<lna≤1，①…………………10分
又∵h′(x)＝2－x－存在零點，
即方程lna·x²－2lna·x＋1＝0有正根，
∴Δ＝4ln²a－4lna≥0，∴lna≥1或lna<0，②…………………12分
由①②知lna＝1，∴a＝e.  

略