Question

（2013•靜安區一模）設P是函數y=x+

2

x

（x＞0）的圖象上任意一點，過點P分別向直線y=x和y軸作垂線，垂足分別為A、B，則

PA

•

PB

的值是

-1

．

Answer 1

分析：設P（x₀，x0+

2

x0

）（x₀＞0），可得|PA|，|PB|，由O、A、P、B四點共圓，可得∠APB=

3π

4

，由數量積定義可求．

解答：解：設P（x₀，x0+

2

x0

）（x₀＞0），則點P到直線y=x和y軸的距離分別為
|PA|=

|x0-(x0+ 2 x0 )|

2

=

2

x0

，|PB|=x₀．
∵O、A、P、B四點共圓，所以∠APB=π-∠AOB=

3π

4

∴

PA

•

PB

=

2

x0

•x0•cos

3π

4

=-1
故答案為：-1

點評：本題考查平面向量數量積的運算，涉及點到直線的距離公式和四點共圓的性質，屬中檔題．