Question

如圖，已知橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓右準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)M為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓交于P、Q兩點(diǎn)，直線PQ與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的取值范圍是（　　）

• A．[

  2b2

  a

  ，2a)
• B．[

  2b2

  a

  ，2b)
• C．[

  2b2

  a

  ，2a]
• D．[

  2b2

  a

  ，2b]

Answer 1

分析：確定以O(shè)M為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的方程，利用圖形的對(duì)稱性，即可求得結(jié)論．

解答：解：設(shè)M（

a2

c

，m），則以O(shè)M為直徑的圓的方程為(x-

a2

2c

)2+(y-

m

2

)2=

a4

4c2

+

m2

4

①
以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的方程為x²+y²=a²②
根據(jù)圖形可知，當(dāng)M在x軸上時(shí)，|AB|最小，此時(shí)方程①為(x-

a2

2c

)2+y2=

a4

4c2

③
②-③可得：x=c，代入橢圓方程，可得

c2

a2

+

y2

b2

=1，∴y=±

b2

a

，∴|AB|=

2b2

a

當(dāng)M在無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，|AB|最大，以O(shè)M為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓交于長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，∴|AB|→2a
∴|AB|的取值范圍是[

2b2

a

，2a)
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查圓與橢圓的綜合，解題的關(guān)鍵是確定圓的方程，屬于中檔題．