Question

已知函數f（x）=a^x-a^-x，（a＞0且a≠1），
（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明；
（2）判斷f（x）的單調性，并說明理由．（不需要嚴格的定義證明，只要說出理由即可）
（3）若a=

1

2

，方程f（x）=x+1是否有根？如果有根x₀，請求出一個長度為1的區間（a，b），使x₀∈（a，b）；如果沒有，請說明理由．（注：區間（a，b）的長度=b-a）

Answer 1

分析：（1）函數f（x）為奇函數．證明方法是先求出函數f（x）=a^x-a^-x的定義域關于原點對稱，再推導出f（-x）=-f（x）．
（2）函數f（x）=a^x-a^-x=a^x-（

1

a

）^x，由a＞1和0＜a＜1兩種情況，利用指數函數的性質分別討論f（x）的單調性．
（3）設g（x）=f（x）-（x+1）=（

1

2

）^x-2^x-（x+1），由g（-1）g（0）＜0，推導出方程f（x）=x+1有根x₀∈（-1，0）．

解答：解：（1）函數f（x）=a^x-a^-x為奇函數．
證明：函數f（x）=a^x-a^-x的定義域為R，關于原點對稱．
∵f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），
∴f（x）是奇函數．
（2）∵函數f（x）=a^x-a^-x=a^x-（

1

a

）^x，
①當a＞1時，y=a^x單調遞增，y=（

1

a

）^x單調遞減，
所以f（x）=a^x-a^-x單調遞增．
②當0＜a＜1時，y=a^x單調遞減，y=（

1

a

）^x單調遞增，
∴f（x）=a^x-a^-x單調遞減．
綜上所述，a＞1時，y=f（x）單調遞增；0＜a＜1時，y=f（x）單調遞減．
（3）當a=

1

2

時，f（x）=（

1

2

）^x-2^x，又f（x）=x+1，
設g（x）=f（x）-（x+1）=（

1

2

）^x-2^x-（x+1），
∵g（-1）=

3

2

＞0，g（0）=-1＜0，
∴g（-1）g（0）＜0，故y=g（x）存在零點x₀∈（-1，0），
∴方程f（x）=x+1有根x₀∈（-1，0）．

點評：本題考查函數奇偶性的判斷，考查函數單調性的判斷，考查方程是否有根的判斷．解題時要注意指數冪數性質、等價轉化思想、分灶討論思想的合理運用．