Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=4，CD=2，等腰梯形的高為3，O為AB中點，PO⊥平面ABCD，垂足為O，PO=2，EA∥PO．
（1）求證：BD⊥平面EAC；
（2）求二面角E-AC-P的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲證BD⊥平面EAC，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BD與平面EAC內兩相交直線垂直，取CD中點M，以AB中點O為坐標原點，OA、OM、OP為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系，根據向量數量積可知BD⊥AC，而BD⊥AE，滿足定理所需條件；
（2）先求出平面PAC的一個法向量，結合圖形可知

BD

是平面EAC的一個法向量，然后利用向量的夾角公式求出此角的余弦值即為二面角E-AC-P的余弦值．

解答：解：（1）證：如圖，取CD中點M，以AB中點O為坐標原點，OA、OM、OP為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系，
則A（2，0，0），B（-2，0，0），C（-1，3，0），D（1，3，0），

AC

=(-3，3，0)，

BD

=(3，3，0)，

AC

•

BD

=-3×3+3×3=0
∴BD⊥AC、（4分）
∵AE∥PO，PO⊥平面ABCD，∴AE⊥平面ABCD得BD⊥AE，
∴BD⊥平面EAC
（2）P（0，0，2），

AP

=（-2，0，2），設平面PAC的一個法向量

n

=(x，y，z)，
由

AP • n =0 AC • n =0

得

-2x+2z=0 -3x+3y=0

設x=1得

n

=(1，1，1)．

BD

=（3，3，0）是平面EAC的一個法向量
cos＜

n

，

BD

＞=

n • BD

| n || BD |

=

3+3

3 2 • 3

=

6

3

．故二面角E-AC-P的余弦值

6

3

．（12分）

點評：本小題主要考查直線與平面的位置關系、二面角及其平面角等有關知識，考查空間想象能力和思維能力，應用向量知識解決立體幾何問題的能力．