Question

已知向量

m

=(asinx，cos2x)，

n

=(cosx，b)，f(x)=

m

•

n

+c，其中a，b，c為實數，滿足f（x）的圖象關于P(

π

3

，0)對稱，且在P處的切線斜率為-4，
（1）求f（x）的解析式；
（2）在非鈍角△ABC中，f(C)=-

3

，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求sinA的值．

Answer 1

分析：（1）由f(

π

3

)=

3

2

a-

b

2

=0 和 f′(

π

3

)=-

a

2

-

3

2

b=-4解出a、b的值，即得f（x）的解析式．
（2）在非鈍角△ABC中，由f(C)=-

3

，求出角C 的大小，再由 2sin²B=cosB+cos（A-C），可解得sinA的值．

解答：解：（1）f（x）=asinxcosx+bcos²x+c=

a

2

sin2x+

b

2

(1+cos2x)+c，∵f（x）的圖象關于P(

π

3

，0)對稱，
∴f(

π

3

)=

3

2

a-

b

2

=0，即b=

3

a，∴f'（x）=acos2x-bsin2x．
∵f′(

π

3

)=-

a

2

-

3

2

b=-4，a+

3

b=8，∴a=2，b=2

3

，
∴f(x)=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

2

)．
（2）f(C)=2sin(2C+

π

3

)=-

3

，則2C+

π

3

=

4π

3

或2C+

π

3

=

5π

3

，得C=

π

2

或C=

2π

3

（舍去），
所以原式即為：2cos²A=sinA+sinA，得sin²A+sinA-1=0，所以sinA=

5 -1

2

．

點評：本題考查兩個向量的數量積公式，同角三角函數的基本關系，求出f（x）的解析式是解題的關鍵．