Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lg （a＞0）為奇函數(shù)，函數(shù)g（x）= +b（b∈R）．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）若b＞1，討論方徎g（x）=ln|x|實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[ ， ]時(shí)，關(guān)于x的不等式f（1﹣x）≤log（x）有解，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 為奇函數(shù)得：f（﹣x）+f（x）=0，

即 ，

所以 ，解得a=1，

（Ⅱ）當(dāng)b＞1時(shí)，設(shè) ，

則h（x）是偶函數(shù)且在（0，+∞）上遞減

又

所以h（x）在（0，+∞）上有惟一的零點(diǎn)，方徎g（x）=ln|x|有2個(gè)實(shí)數(shù)根．

（Ⅲ）不等式f（1﹣x）≤log（x）等價(jià)于 ，

即 在 有解，

故只需 ，

因?yàn)? ，所以 ，

函數(shù) ，

所以 ，

所以b≥﹣13，所以b的取值范圍是[﹣13，+∞）．

【解析】（Ⅰ）由 為奇函數(shù)得：f（﹣x）+f（x）=0，即可求a；（Ⅱ）當(dāng)b＞1時(shí)，設(shè) ，則h（x）是偶函數(shù)且在（0，+∞）上遞減，即可討論方徎g（x）=ln|x|實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)；（Ⅲ）不等式f（1﹣x）≤log（x）等價(jià)于 ，即 在 有解，故只需 ，即可求b的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇．