Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H為PC的中點，M為AH中點，PA=AC=2，BC=1．
（1）求證：AH⊥平面PBC；
（2）求PM與平面AHB成角的正弦值；
（3）在線段PB上是否存在點N，使得MN∥平面ABC，若存在，請說明點N的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由PA⊥底面ABC，可得PA⊥BC，又AC⊥BC，可得BC⊥平面PAC，于是BC⊥AH．而H為PC的中點，PA=AC，可得AH⊥PC．即可證明AH⊥平面PBC．
（2）由題意建立如圖所示的空間直角坐標系．A（0，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），H（0，1，1），M(0，

1

2

，

1

2

)．設平面ABH的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • AB =x+2y=0 n • AH =y+z=0

，可得

n

．設PM與平面AHB成角為θ，利用sinθ=|cos＜

n

，

PM

＞|=

| n • PM |

| n || PM |

即可得出．．
（3）假設在線段PB上存在點N，使得MN∥平面ABC．設

PN

=λ

PB

，

PB

=（1，2，-2），

PN

=(λ，2λ，-2λ)．可得

MN

=

PN

-

PM

=(λ，2λ-

1

2

，-2λ+

3

2

)，由于MN∥平面ABC，平面ABC的法向量為

AP

=（0，0，2），利用

MN

•

AP

=0，即可解得λ．

解答： （1）證明：∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC，
又∵AC⊥BC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∵AH?平面PAC，
∴BC⊥AH．
∵H為PC的中點，PA=AC，
∴AH⊥PC．
∵PC∩BC=C．
∴AH⊥平面PBC；
（2）由題意建立如圖所示的空間直角坐標系．A（0，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），H（0，1，1），M(0，

1

2

，

1

2

)．

AH

=（0，1，1），

AB

=（1，2，0），

PM

=(0，

1

2

，-

3

2

)．
設平面ABH的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • AB =x+2y=0 n • AH =y+z=0

，取

n

=（2，-1，1）．
設PM與平面AHB成角為θ，
則sinθ=|cos＜

n

，

PM

＞|=

| n • PM |

| n || PM |

=

2

6 × 10 4

=

2 15

15

．
（3）假設在線段PB上存在點N，使得MN∥平面ABC．
設

PN

=λ

PB

，

PB

=（1，2，-2），
∴

PN

=(λ，2λ，-2λ)．
∴

MN

=

PN

-

PM

=(λ，2λ-

1

2

，-2λ+

3

2

)，
∵MN∥平面ABC，平面ABC的法向量為

AP

=（0，0，2），
∴

MN

•

AP

=3-4λ=0，解得λ=

3

4

．
∴點N是靠近B點的四等分點．

點評：本題考查了線面垂直的判定與性質定理、線面角的公式、線面平行的性質定理，考查了平面法向量的性質，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．