Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c為常數），滿足條件
（1）圖象過原點；
（2）f（1+x）=f（1-x）；
（3）方程f（x）=x有兩個不等的實根試求f（x）的解析式并求x∈[-1，4]上的值域．

Answer 1

考點：二次函數的性質,函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：由（1）便得到c=0，而根據（2）知x=1是f（x）的對稱軸，所以得到b=-2a，所以f（x）=ax²-2ax．所以方程ax²-（2a+1）x=0有兩個相等實根0，所以可得到

2a+1

a

=0，a=-

1

2

，所以求得f（x）=-

1

2

x2+x，根據二次函數的圖象即可求得該函數在[-1，4]上的值域．

解答： 解：由（1）得，c=0；
由（2）知，f（x）的對稱軸為x=1，∴-

b

2a

=1，b=-2a；
∴f（x）=ax²-2ax；
∴由（3）知，ax²-（2a+1）x=0有兩個相等實根；
∴

2a+1

a

=0；
∴a=-

1

2

；
∴f(x)=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

；
∴f（x）在[-1，4]上的值域為[f（4），f（1）]=[-4，

1

2

]．

點評：考查曲線上點的坐標和曲線方程的關系，根據f（1+x）=f（1-x）能得出二次函數f（x）的對稱軸，以及解一元二次方程，根據二次函數的圖象或二次函數圖象上的點到對稱軸的距離求二次函數在閉區間上的值域．