Question

甲、乙兩個乒乓球運動員進行乒乓球單打比賽，比賽規則是5局3勝制（如果甲或乙無論誰先勝3局，則宣告比賽結束），假定每一局比賽中甲獲勝的概率是

2

3

，乙獲勝的概率是

1

3

，試求：
（Ⅰ）經過3局比賽就宣告結束的概率；
（Ⅱ）若勝一局得1分，負一局得0分，求比賽結束時乙得2分的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，經過三局比賽結束包括了兩個事件，事件A：甲以3：0獲勝；事件B：乙以3：0獲勝，經過3局比賽就宣告結束的概率是此兩事件概率的和，即P₁=P（A+B）=P（A）+P（B）由題設條件求解即可；
（II）由題意，比賽結束時乙得2分的情況，只可能是乙以2：3負于甲，即前4局比賽中乙恰好勝2局，第5局比賽乙負，故事件“比賽結束時乙得2分”概率是P2=

c

2 4

(

1

3

)2×(

2

3

)2×

2

3

，計算出結果即可得到答案

解答：解：（Ⅰ）記事件A：甲以3：0獲勝；事件B：乙以3：0獲勝，
則經過3局比賽就宣告結束的概率是
P1=P(A+B)=P(A)+P(B)=(

2

3

)3+(

1

3

)3=

9

27

=

1

3

．…（6分）
（Ⅱ）比賽結束時乙得（2分）的情況，只可能是乙以2：3負于甲，即前4局比賽中乙恰好勝2局，第5局比賽乙負，于是乙得（2分）的概率是
P2=

c

2 4

(

1

3

)2×(

2

3

)2×

2

3

=

16

81

．…（12分）

點評：本題考查n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率，互斥事件的和事件的概率，相互獨立事件的概率乘法公式，解題的關鍵是理解題意，根據所研究的事件的類型選擇恰當的概率模型求出概率，如第一小題中所求的概率是兩個互斥事件概率的和，第二小題中四次試驗中某事件發生兩次的概率的求法，所用的模型是n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率，從現實問題中抽象出相應的數學模型是成功解題的第一步