Question

當-π≤x≤π時，函數f（x）滿足2f（-sinx）+3f（sinx）=sin2x，則f（x）是

1. A.
   奇函數
2. B.
   偶函數
3. C.
   非奇非偶函數
4. D.
   既奇又偶函數

Answer 1

A
分析：欲判斷函數的奇偶性，只須驗證f（-x）與f（x）的關系，故必須先由條件求得f（x）的解析式，考慮到將sinx看成整體，利用二倍角公式進行轉換，即可達到目的．
解答：當-π≤x≤π時，cosx=，
∴2f（-sinx）+3f（sinx）=sin2x
即：2f（-sinx）+3f（sinx）=2sinxcosx
設t=sinx，則2f（-t）+3f（t）=2t，①
從而：2f（t）+3f（-t）=-2t，②
由①②得：f（t）=2t，
當π≤x≤π時，cosx=-，
∴2f（-sinx）+3f（sinx）=sin2x
即：2f（-sinx）+3f（sinx）=2sinxcosx
設t=sinx，則2f（-t）+3f（t）=-2t，
從而：2f（t）+3f（-t）=2t，
得：f（t）=-2t，
當-π≤x≤-π時，cosx=-，
∴2f（-sinx）+3f（sinx）=sin2x
即：2f（-sinx）+3f（sinx）=2sinxcosx
設t=sinx，則2f（-t）+3f（t）=-2t，
從而：2f（t）+3f（-t）=2t，
得：f（t）=-2t，
∴當-π≤x≤π時，函數f（x）滿足f（-x）=-f（x），則f（x）是奇函數．
故選A
點評：本小題主要考查函數奇偶性的判斷、函數奇偶性的應用、函數解析式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．