Question

已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，滿足8Sn＝a＋4an＋3(n∈N*)，且a1，a2，a7依次是等比數列{bn}的前三項．

(1)求數列{an}及{bn}的通項公式；

(2)是否存在常數a＞0且a≠1，使得數列{an－logabn}(n∈N*)是常數列？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）an＝4n－3，bn＝5n－1.（2）

【解析】(1)n＝1時，8a1＝＋4a1＋3，a1＝1或a1＝3.(2分)

當n≥2時，8Sn－1＝＋4an－1＋3，

an＝Sn－Sn－1＝(＋4an－－4an－1)，

從而(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0

因為{an}各項均為正數，所以an－an－1＝4.(6分)

所以，當a1＝1時，an＝4n－3；當a1＝3時，an＝4n－1.

又因為當a1＝1時，a1，a2，a7分別為1,5,25，構成等比數列，

所以an＝4n－3，bn＝5n－1.

當a1＝3時，a1，a2，a7分別為3,7,27，不構成等比數列，舍去．(11分)

(2)假設存在a，理由如下：(12分)

由(1)知，an＝4n－3，bn＝5n－1，從而

an－lonabn＝4n－3－loga5n－1＝4n－3－(n－1)·loga5＝(4－loga5)n－3＋loga5.

由題意，得4－loga5＝0，所以a＝.(16分)